专题04 解一元二次方程四类培优题型（压轴题型）（解析版）.docx

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专题04解一元二次方程四类培优题型

目录

TOC\o1-3\h\z\u典例详解

类型一、换元法解一元二次方程

类型二、配方法解特殊与一元二次方程

类型三、因式分解法解一元（多元）二次方程

类型四、换元法解高次方程（拓展）

压轴专练

类型一、换元法解一元二次方程

例1已知是实数，且满足，则的值为（??）

A．3B．3或C．或6D．6

【答案】A

【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形．

【详解】解：设，原方程变为．

∴．

∴，．

当时，方程的判别式，存在实数解．

当时，方程的判别式，无实数解．

∴满足条件．

故选：A．

变式1-1．若关于的方程的两根之和为2，两根之积为，则关于的方程的两根之积是．

【答案】4

【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，，设，则利用换元法，得到的两个根为，再进行求解即可．

【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，，

∴关于y的方程的两根为，，

∴；

故答案为：4．

变式1-2．已知方程（a2+b2）2+a2+b2＝6，则a2+b2的值是．

【答案】2

【分析】设a2+b2＝y，则原方程换元为y2﹣y﹣2＝0，可得y1＝2，y2＝﹣1，即可求解．

【详解】解：设a2+b2＝y，则原方程换元为y2+y﹣6＝0，

∴（y﹣2）（y+3）＝0，

解得：y1＝2，y2＝﹣3，

即a2+b2＝2或a2+b2＝﹣3（不合题意，舍去），

∴a2+b2＝2，

故答案为：2．

【点睛】此题考查特殊的一元二次方程的解法—设元法，正确理解方程的特点利用设元法解此方程是解题的关键．

变式1-3．已知，则．

【答案】

【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程；设，把原方程变形，求得，即可得出的数值．

【详解】解：设，则原方程为，

整理得，

∴

即或，

解得，

∵是非负数，

∴．

故答案为：．

变式1-4．已知实数x满足，则的值为．

【答案】2

【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、完全平方公式、解分式方程等知识点，利用完全平方公式对方程进行变形是解题的关键．

根据完全平方公式可得，然后代入原方程可得，设，然后解关于y的方程，最后根据y的值再分别运用根的判别式以及解分式方程检验即可解答．

【详解】解：由完全平方公式可得：完全平方公式可得，

∴原方程可化为．

设，则方程变形为，解得．

当，则，即，

因为，

∴该方程无实数根，

当，则，

即，解得．

经检验，是原方程的根，

∴原方程的根是．

．

类型二、配方法解特殊一元二次方程

例2．已知a、b、c满足，，，则．

【答案】3

【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．

【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：

，

即，

∴，

∴a=3,b=-1,c=1，

∴a+b+c=3-1+1=3，

故答案为3．

【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．

变式2-1．当，时，多项式有最小值，这个最小值是．

【答案】4315

【分析】利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答．

【详解】解：

=

=

=

∴当a=4，b=3时，多项式有最小值15．

故答案为：4，3，15．

【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

变式2-2．如果，则．

【答案】36

【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答．

【详解】解：

，解得：；

．

故答案为：36．

【点睛】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键．

变式2-3．已知，则的最小值是；

【答案】4

【分析】本题主要考查了配方法的应用，先根据题意得到，再利用配方法得到，当时，根据，推出，则，当时，根据，推出，则，据此可得答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴

；

当时，，

∴，

∴，

∴，

∴；

当时，，

∴，

∴，

∴，

∴，

综上所述，，当且仅当，即时，等号成立，

故答案为：4．

类型三、因式分解法解一元（多元）二次方程

例3．解方程：

【答案】或或

【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程

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