为激发学生的学习兴趣，吴萱老师上课时在黑板上写出三个集合：A={x

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题文

为激发学生的学习兴趣，吴萱老师上课时在黑板上写出三个集合：A={x|x（△•x-1）＜0}，B={x|x2-3x-4≤0}，C={x|log3x＜-1}；然后叫小南、小广、小郎三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是小南、小广、小郎三位同学的描述：小南：此数为小于6的正整数； 小广：A是B成立的充分不必要条件； 小郎：A是C成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学说的都对．
（Ⅰ）试求“△”中的数；
（Ⅱ）若D={x|x2+（a-8）x-8a≤0}，求a的一个取值范围，使它成为A∩D=(0，12)一个必要不充分条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意B={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，C={x|log3x＜-1}={x|0＜x＜13}
A={x|x（△•x-1）＜0}={x|0＜x＜1△}
由A是B成立的充分不必要条件知，A真包含于B，故 1△≤4，再由此数为小于6的正整数得出△≥14，
由A是C成立的必要不充分条件得出C包含于A，故 1△＞13，得出△＜3，
所以△=1或2；
（II）当△=1时，A={x|x（x-1）＜0}={x|0＜x＜1}，
D={x|x2+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此时A∩D=(0，12)不可能成立，
当△=2时，A={x|x（2x-1）＜0}={x|0＜x＜12}，
D={x|x2+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此时要使A∩D=(0，12)成立，
则-a＜8，即a＞-8，故D={x|-a≤x≤8}，
当-a≤0时，即a≥0时，此时a的取值集合是A∩D=(0，12)一个必要不充分条件．
故所求的a的一个取值范围是[0．+∞）．

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解析

13

考点

据考高分专家说，试题“为激发学生的学习兴趣，吴萱老师上课时在黑.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；
2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。
3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件：
①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件；
②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件；
③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。

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